用了400年的地圖居然是錯的（圖）
還能不能好好的看地圖了，用了400年的地圖居然是錯的！
最近各大門户網站都在討論一件事情，那就是我們用的平面的世界地圖在一般情況下來説——都是不對的！比如南極洲的面積在平面地圖上看起來比實際面積要大2.8倍。
看下面這張世界地圖，南極洲看上去是那麼大的一坨，看起來似乎比俄羅斯還要大。真實情況是，南極洲的面積是1400萬平方公里，俄羅斯的面積是1700萬平方公里。
這到底是腫麼了嘛。那肯定是這個平面地圖的面積表示是有錯誤的。
如果你想看到真實的南極洲的面積，請使用球面地球儀。
面積是一個幾何量，受到拓撲的約束
球面與平面是不同的，這個明眼人都可以看出來。從數學語言來説，這種不同叫做拓撲結構不同。拓撲結構是一種整體的結構。比如一個自行車內胎與一個籃球的拓撲是不同的—— 籃球面上任意封閉曲線可以連續縮小為一點，自行車內胎上則不可以；籃球的內部空間任意兩點可以直線連接，自行車內胎則不可以啊（數學上這叫做同倫羣不一樣呢）。但一個籃球與一個長方體的電腦機箱的拓撲是相同的——你可以通過連續的變形把一個籃球的表面變成一個電腦機箱的表面。
內胎≠籃球 籃球＝電腦機箱
那麼，什麼是“南極洲的面積”呢（如果這南極洲的土地也可以象澳洲那裏自由買賣，這多出來面積該值多少錢呢），這個“面積”在數學上又是什麼呢？面積在微分幾何學中是一種由度量決定的局部的幾何量。在數學上有一系列重要的定理，告訴我們整體與局部之間存在相互約束的關係。
畫地圖的時候，是有講究的，一般情況下是要保持一個國家的邊界的形狀不變——比如説中國的形狀象一隻雞，不能在地圖上畫出來變成一隻豬的形狀。
化粧品有“保濕”的功能，地圖具有“保形”的追求。
從數學的角度來説，那就是存在“保形變換”與“保面積變換”這兩種基本的路線之爭。
首先我們來給大家介紹一下什麼是保形變換（又叫保角變換或者共形變換，是數學系或者物理系的大學生都要學會的一個重要的數學概念，一般出現在複變函數這門課程中，保形的英語是conformal）。
保形變換
什麼是保形變換？
我們都知道地球是一個球面，那麼怎麼才能把一個球面上的面積對應到平面上呢？比如中國地圖在球面上看上去象一隻公雞，面積是960萬平方公里。我們畫在平面上，平面地圖可以看上去依然象一個公雞——這叫做保形變換，這在數學上是可以實現的。
保面積變換
那麼什麼是保面積變換呢？
保面積變換，顧名思義，就是一種等積變換，比如夾在2條平行線之間的同底等高的三角形的面積是相等的，這就是保面積變換。
在微分幾何裏，當然要複雜一些，但思路是一樣。
假設
是一個微分同胚映射，保面積變換保持曲面的面元。換句話説就是這個映射的拉回度量行列式的值等於初始度量行列式的值：
這個方程有無限多個解，也就是説保面積變換可以有很多了。比如我們把中國這個雞形狀可以變換為一隻小兔子的形狀，保持面積不變，這是很容易做到的呢。所以在畫地圖的時候，一般不追求保面積變換。
既保角又保面積？魚與熊掌不能兼得！
既然如此，那為什麼不能把地球儀上的中國既保形又保面積地投影到平面上呢？
這就有數學的限制了！
數學上有一個很強的結論：如果一個微分同胚既是保形變換，又是保面積變換，那麼則此變換一定是等距的（也就是保度量的）。也就是説，地球儀上的南極洲投影到平面上，不可能既保持它的形狀，同時保持它的面積（魚與熊掌不能兼得）。 這是因為球面的度量與平面的度量之間不存在等距映射，這兩者的度量是不同的。
所以，從這個意義上來説，南極洲要看起來象南極洲，在平面上畫出它來就必須改變它的面積。
文章來源：蝌蚪五線譜
